브라베 격자

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1. 개요
2. 역사
3. 단위 세포
- 3.1. 원시 단위 세포
4. 2차원 브라베 격자
- 4.1. 2차원 격자계
5. 3차원 브라베 격자
- 5.1. 3차원 격자계 및 브라베 격자
- 5.2. 면간 거리
6. 4차원 브라베 격자
참조

1. 개요

브라베 격자는 1850년 오귀스트 브라베가 연구한 것으로, 공간 상의 점들이 규칙적으로 배열된 형태를 말한다. 2차원에는 5개, 3차원에는 14개의 브라베 격자가 존재하며, 격자점의 배열과 대칭성에 따라 분류된다. 단위 세포는 격자를 채우는 기본 구성 요소이며, 원시 단위 세포와 관례적 단위 세포로 나뉜다. 3차원 브라베 격자는 7개의 결정계와 격자점 정렬 유형에 따라 분류되며, 면간 거리는 결정계에 따라 다른 공식을 통해 계산할 수 있다. 4차원에서는 64개의 브라베 격자가 존재한다.

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브라베 격자
브라베 격자
3차원 브라베 격자
개요
유형	점 격자
차원	3차원
설명	3차원 공간에서 가능한 모든 격자 유형을 나타내는 14개의 서로 다른 격자 구조
격자 유형
삼사정계 (triclinic)	1개
단사정계 (monoclinic)	2개
사방정계 (orthorhombic)	4개
정방정계 (tetragonal)	2개
삼방정계 (trigonal 또는 rhombohedral)	1개
육방정계 (hexagonal)	1개
입방정계 (cubic)	3개
결정계와의 관계
결정계	7개
브라베 격자	14개
특징
대칭성	각 격자점에서의 환경은 동일하며, 격자는 특정 대칭성을 가짐.
병진 대칭	격자는 병진 연산에 대해 불변함.
단위 세포	격자의 기본 구성 단위이며, 격자 전체를 반복적으로 생성할 수 있음.
응용
재료 과학	결정 구조 분석 및 재료의 물리적 특성 예측
고체 물리학	고체의 전자 구조 및 격자 진동 연구
결정학	결정 구조 분류 및 결정 성장 메커니즘 이해

2. 역사

프랑스의 오귀스트 브라베(Auguste Bravais^프랑스어)가 1850년에 브라베 격자에 대한 연구를 처음으로 수행하였다.^[8]

3. 단위 세포

결정학에서 단위 세포는 인접한 격자점 사이의 공간과 그 공간 내의 모든 원자를 포함하는 개념이다. 단위 세포는 격자 공간을 겹침이나 공극 없이 채우는 공간으로 정의된다. 즉, 격자 공간은 단위 세포의 배수이다.^[3]

단위 세포에는 주로 원시 단위 세포와 관례적 단위 세포, 두 가지 유형이 있다. 원시 세포는 격자(또는 결정)의 가장 작은 구성 요소이며, 격자 변환 연산과 함께 쌓으면 전체 격자(또는 결정)를 재현한다.^[4] 격자 변환 연산은 변환 후 격자가 변경되지 않은 것처럼 보이게 하는 연산이다.

관례적 단위 세포는 결정의 대칭성을 명확하게 나타내기 위해 사용되며, 반드시 최소 크기일 필요는 없다. 관례적 단위 세포의 부피는 원시 단위 세포 부피의 정수배이다.

3. 1. 원시 단위 세포

원시 단위 세포는 주어진 결정에서 가장 작은 부피를 갖는 단위 세포이다. 결정은 모든 격자점에 있는 격자와 기저로 구성된다. 가장 작은 세포 부피를 가지려면, 원시 단위 세포는 단 하나의 격자점과 최소량의 기저 구성 요소(예: 기저 내 원자의 최소 개수)를 포함해야 한다.^[3]

단위 세포 내 격자점의 수는 해당 격자점을 중심으로 인접한 m개의 단위 세포가 격자점을 공유하는 경우, 해당 점은 1/m으로 계산된다. 예를 들어, 모든 격자점에 단일 종류의 원자가 위치한 격자(가장 간단한 기저 형태)는 두 개의 원자를 기저로 하는 격자로 볼 수도 있다. 이 경우, 원시 단위 세포는 최소 단위 세포 부피를 보장하기 위해 결정을 설명하는 첫 번째 방법에서 단 하나의 격자점만을 갖는 단위 세포이다.

주어진 결정에 대해 원시 세포를 선택하는 방법은 여러 가지가 있을 수 있으며, 각 선택은 다른 원시 세포 모양을 갖지만, 원시 세포 부피는 모든 선택에 대해 동일하다. 각 선택은 원시 단위 세포와 관련 격자에 걸쳐 이산 격자점 사이에 일대일 대응 관계를 설정할 수 있다. 주어진 결정에서 n이 최소량의 기저 구성 요소를 보장하는 격자 내 격자점의 밀도이고 v가 선택된 원시 세포의 부피이면, nv = 1이 되어 v = 1/n이 되므로, 모든 원시 세포는 1/n의 동일한 부피를 갖는다.^[3]

4. 2차원 브라베 격자

2차원에는 5가지 종류의 브라베 격자가 존재하며, 이들은 4개의 격자계로 그룹화된다. 2차원 브라베 격자는 기본 병진 벡터의 길이와 그 사이의 각도에 따라 결정된다.^[5]

2차원에서 가장 기본적인 점군은 1배 및 2배 회전 대칭 하에서의 회전 불변성에 해당하며, 이는 모든 2차원 격자에 자동으로 적용된다. 이 그룹에 포함된 격자(다른 점군에 속하지 않는 모든 격자)는 사교 격자라고 한다. 그 외에 정방형, 육각형, 직사각형, 중심 직사각형의 4가지 격자 범주가 있으며, 2차원에는 총 5개의 브라베 격자가 있다.

4. 1. 2차원 격자계

2차원에는 모두 5개의 브라베 격자가 있으며, 4개의 격자계로 분류된다. 2차원 브라베 격자는 다음과 같다.^[5]

'''참고:''' 아래 표의 단위 셀 다이어그램에서 격자점은 검은색 원으로 표시되고, 단위 셀은 검은색으로 윤곽이 표시된 평행 사변형(사각형 또는 직사각형일 수 있음)으로 표시된다. 각 평행 사변형의 네 모서리는 각각 격자점에 연결되지만, 기술적으로 네 개의 격자점 중 하나만 주어진 단위 셀에 속하고 다른 세 개의 격자점 각각은 인접한 단위 셀 중 하나에 속한다.

격자계	점군 (쇤플리스 표기법)	5 브라베 격자
단순 (p)	중심 (c)
단사정 (m)	C₂	사선 격자 사선 (mp)
사방정 (o)	D₂	직사각형 격자 직사각형 (op)	중심 직사각형 격자 중심 직사각형 (oc)
정방정 (t)	D₄	정사각형 격자 정사각형 (tp)
육방정 (h)	D₆	육각형 격자 육각형 (hp)

단위 셀은 셀 모서리의 상대적 길이(''a'' 및 ''b'')와 그 사이의 각도(''θ'')에 따라 지정된다. 단위 셀의 면적은 노름을 평가하여 계산할 수 있으며, 여기서 '''a'''와 '''b'''는 격자 벡터이다. 격자계의 속성은 다음과 같다.

격자계	면적	축 거리 (모서리 길이)	축 각도
단사정	ab sinθ
사방정	ab		θ = 90°
정방정	a²	a = b	θ = 90°
육방정	{\sqrt{3} \over 2}a²	a = b	θ = 120°

5. 3차원 브라베 격자

3차원 브라베 격자는 7개의 결정계와 격자점 배치 방식(단순, 체심, 면심, 저심)에 따라 분류되며, 총 14가지 종류가 있다.

단위 격자의 부피는 격자 벡터

\underline a

,

\underline b

,

\underline c

로 표현 가능하다. 각 브라베 격자의 단위 격자 부피는 다음과 같다.

결정계	부피
삼사정계	$abc \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}$
단사정계	$abc \sin\beta$
사방정계	$abc$
정방정계	$a^2c$
삼방정계	$a^3 \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}$
육방정계	$\frac{\sqrt{3\,}\, a^2c}{2}$
입방정계	$a^3$

5. 1. 3차원 격자계 및 브라베 격자

3차원에는 모두 14개의 브라베 격자가 있다. 이들은 7가지의 결정계에 격자점을 추가하여 분류할 수 있다.

격자점 추가 방식(lattice centering)에는 다음과 같은 종류가 있다.

단순(또는 원시) 격자 (Primitive centering, P): 격자점은 각 단위 격자의 꼭짓점에만 위치한다.
체심 (Body centered, I): 단위 격자의 중심에 하나의 격자점이 더 있다.
면심 (Face centered, F): 단위 격자를 이루는 각 면의 중심에 격자점이 하나씩 더 있다.
저심 (A, B or C centering): 마주보는 2개의 면의 중심에만 격자점이 하나씩 더 있다. A축에 수직한 면의 중심에 격자점이 있는경우 A centering 이라 하고, B축에 수직한 면에 있는 경우 B centering 이라고 하고 C축에 수직한 면의 중심에 격자점이 있는경우 C centering이라 한다.

7 결정계와 위 격자점 추가 방식의 조합으로 가능한 모든 격자를 표현할 수 있지만, 일부 격자들은 서로 같은 모양을 가지므로 중복을 제외하면 14개의 브라베 격자만 남는다. 예를 들어 단사정계의 체심 격자는 단사정계의 저심 격자로 나타낼 수 있다. 비슷하게 A, B centering은 모두 C centering이나 체심(Body centered)으로 나타낼 수 있으므로 브라베 격자에 A, B centered 격자는 존재하지 않는다.^[6]

결정족	격자 계	점군 (쇤플라이스 표기법)	14 브라베 격자
단순(P)	밑면 중심(S)	체심(I)	면심(F)
삼사정계 (a)		C_i	삼사정계
단사정계 (m)		C_2h	단사정계, 단순	단사정계, 중심
사방정계 (o)		D_2h	사방정계, 단순	사방정계, 밑면 중심	사방정계, 체심	사방정계, 면심
정방정계 (t)		D_4h	정방정계, 단순		정방정계, 체심
육방정계 (h)	능면체	D_3d	능면체
육방정계 (h)	육방정계	D_6h	육방정계
입방정계 (c)		O_h	입방정계, 단순		입방정계, 체심	입방정계, 면심

단위 세포는 세포 모서리의 상대적 길이(''a'', ''b'', ''c'')와 그 사이의 각도(''α'', ''β'', ''γ'')인 6개의 격자 매개변수에 따라 지정된다. 여기서 ''α''는 ''b''와 ''c'' 사이의 각도이고, ''β''는 ''a''와 ''c'' 사이의 각도이며, ''γ''는 ''a''와 ''b'' 사이의 각도이다. 단위 세포의 부피는 삼중곱을 평가하여 계산할 수 있다. 여기서 '''a''', '''b''', '''c'''는 격자 벡터이다. 격자 계의 속성은 다음과 같다.

결정족	격자 계	부피	축 거리(모서리 길이)	축 각도^[6]	해당 예시
삼사정계		$abc \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}$			K₂Cr₂O₇, CuSO₄·5H₂O, H₃BO₃
단사정계		$abc \, \sin\beta$		α = γ = 90°	단사정계 황, Na₂SO₄·10H₂O, PbCrO₃
사방정계		$abc$		α = β = γ = 90°	사방정계 황, KNO₃, BaSO₄
정방정계		$a^2c$	a = b	α = β = γ = 90°	백색 주석, SnO₂, TiO₂, CaSO₄
육방정계	능면체	$a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha}$	a = b = c	α = β = γ	방해석 (CaCO₃), 주사 (HgS)
육방정계	육방정계	$\frac{\sqrt{3}}{2}\, a^2c$	a = b	α = β = 90°, γ = 120°	흑연, ZnO, CdS
입방정계		$a^3$	a = b = c	α = β = γ = 90°	NaCl, 섬아연석, 구리, KCl, 다이아몬드, 은

5. 2. 면간 거리

(hkl)군의 인접한 면 사이의 거리인 d는 다음 식을 통해 알 수 있다.^[1]

결정계	식
삼사정계	$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{V}(S_{11}h^2+S_{22}k^2+S_{33}l^2+2S_{12}hk+2S_{23}kl+2S_{13}hl)$
단사정계	$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{\sin^2\beta}(\frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2\sin^2\beta}{b^2}+\frac{l^2}{c^2}-\frac{2hl\cos\beta}{ac})$
사방정계	$\frac{1}{d^2}=\frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}+\frac{l^2}{c^2}$
정방정계	$\frac{1}{d^2}=\frac{h^2+k^2}{a^2}+\frac{l^2}{c^2}$
삼방정계	$\frac{1}{d^2}=\frac{(h^2+k^2+l^)\sin^2\alpha+2(hk+kl+hl)(\cos^2\alpha-\cos\alpha)}{a^2(1-3\cos^2\alpha+2\cos^3\alpha)}$
육방정계	$\frac{1}{d^2}=\frac{4}{3}(\frac{h^2+hk+k^2}{a^2})+\frac{l^2}{c^2}$
입방정계	$\frac{1}{d^2}=\frac{h^2+k^2+l^2}{a^2}$

6. 4차원 브라베 격자

4차원에서는 64개의 브라베 격자가 존재한다. 이 중 23개는 단순 격자이고 41개는 중심 격자이다. 10개의 브라베 격자는 에난티오모르프 쌍으로 분리된다.^[7]

참조

_[1] 논문 Historical Introduction http://it.iucr.org/A[...] 2008-04-21
_[2] 웹사이트 Bravais class http://reference.iuc[...] IUCr 2019-08-08
_[3] 서적 Solid State Physics Saunders College Publishing
_[4] 웹사이트 Materials & Solid State Chemistry (course notes) http://nanowires.ber[...]
_[5] 서적 Introduction to Solid State Physics John Wiley & Sons 2008-04-21
_[6] 서적 International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry http://it.iucr.org/A[...] Springer-Verlag
_[7] 서적 Crystallographic groups of four-dimensional space Wiley-Interscience [John Wiley & Sons]
_[8] 간행물

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